Cette sphère est impeignable!
Un théorème à l'utilité douteuse

Alexandre Béland

On connaît tous au moins un théorème, celui du fameux Pythagore étant peut-être le plus populaire. Le philosophe, mathématicien et astronome originaire de Samos en Grèce a été le premier, dans l'Antiquité, à découvrir que le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Bien fait pour lui. Cependant, il existe une multitude de théorèmes, dont certains demandent parfois un moment de réflexion avant d'en saisir la pertinence et les applications. Parfois, on ne les comprends jamais vraiment, simples piétons que nous sommes.

C'est probablement le cas du théorème de la boule chevelue. Pour le réduire au plus simple, il stipule qu'on ne peut pas peigner les cheveux d'une boule de façon uniforme; il restera toujours au moins un cheveu dressé. Naturellement, ça devient bien plus compliqué quand on cherche à comprendre pourquoi. Un certain John Milnor a démontré ce théorème dans le Mathematical Monthly of the Mathematical Association of America, dans les termes suivants: «Il n'existe pas de champ continu de vecteurs tangents partout non nul sur une sphère de dimension paire.» Laissez-moi tenter de vous expliquer.

Admettons votre tête (voir figure 1), soit évidemment une sphère parfaite, possédant, sur chacun de ses points infiniment nombreux, un cheveu. Et admettons que tous vos cheveux soient droits et aient une longueur non égale à zéro. Choisissons un point de votre tête sur lequel se trouve le cheveu A (voir figure 2). Disons que le vecteur susmentionné est une série infinie de coups de peigne (identifié par V), tous dans la même direction en suivant la surface de votre tête. Le cheveux A, subissant les effets de tous les peignes, restera droit. À date c'est clair? Le prochain paragraphe devrait embrouiller la situation.

Le rusé parmi vous nous dira: «Mais pourquoi les vecteurs ne vont-ils pas en ligne droite au lieu de suivre la surface de la sphère?» D'abord, une sphère de dimension paire signifie simplement qu'on tient compte de sa surface comme d'un plan, et non pas de son ensemble comme d'un solide. Conséquemment, on ne tient pas compte du prolongement d'un vecteur au-delà du point auquel il est tangent (bref on ne tient pas compte de l'air ambiant autour de la boule). Ensuite, chaque vecteur (coup de peigne) est tangent à un seul point de la sphère, c'est-à-dire que si on place une planche à chacun des points de votre tête, le coup de peigne à cet endroit précis ira dans le sens de la planche. Si on combine les coups de façon continue, on en viendra à vous brosser délicatement le cuir chevelu en suivant la courbe parfaite de votre globe crânien, et ce, de tous les côtés en même temps dans la même direction.

Si l'on suit cette logique, il y aura en quelque sorte un «point d'origine» de ce champ de vecteurs, un point où le vecteur n'aura d'autre choix que d'être nul puisqu'il ne pourra aller dans aucune direction davantage que dans une autre, étant soumis à l'effet de tous les vecteurs en même temps. Ce cheveu demeurera donc droit (voir figure 2 de nouveau). Du coup, un phénomène semblable se produira de l'autre côté, soit au «point d'arrivée» du champ de vecteurs, et le cheveu situé à ce point précis sera également affecté par l'ensemble des vecteurs, demeurant donc parfaitement immobile et droit lui aussi.

Tout ça peut sembler très complexe et parfaitement inutile, et ça l'est probablement. Certains prétendent que ça démontre qu'il y a toujours au moins un endroit sur Terre où le vent est nul ou vertical. À priori, je réfuterais cette affirmation, puisque la Terre est entourée d'air et donc ne doit pas être considérée «de dimension paire». On arguera que l'attraction terrestre fait en sorte qu'on puisse la prendre comme telle. Je répondrai que vous me cassez les pieds avec vos histoires et je m'en irais jouer à autre chose. Parlez-en au bureau, c'est un hit.